轴对称且中心对称得周期性
Proposition 1.1 给定函数 \(f(x),x \in \R\). 若 \(f(x)\) 关于 \(x = x_0\) 轴对称，且 \(f(x)\) 关于 \((a,b)\) 中心对称，则 \(f(x)\) 为周期函数，且周期为 \(4|x_0 -a|\).
Proof 关于 \(x = x_0\) 轴对称，则 \(f(x + x_0)\) 为偶函数，有
\begin{equation} f(-x + x_0) = f(x+x_0) \end{equation}关于 \((a,b)\) 中心对称，则 \(f(x + a) - b\) 为奇函数，有
\begin{equation} f(-x + a) - b = -f(x+a) + b \end{equation}令 \(t + a = x + x_0 (*)\), 则 \(x = t + a - x_0\), 代入 (1) 得
\begin{equation} f( - t -a + 2x_0) = f(t + a) \end{equation}联立 (2) 和 (3)，替换 (3) 中的 \(t\) 为 \(x\) ，得
\[ f( - x + a) = - f(-x - a + 2x_0) + 2b \]
再换元，把负号换掉
\[ f(x + a) = - f(x - a + 2x_0) + 2b \]
换元 \(t = x - a + 2x_0\) ，有
\[ f(t + 2(a - x_0)) = - f(t) + 2b \]
最后换元 \(t = x + 2(a - x_0)\) ，于是
\begin{align*} f(x + 4(a - x_0)) &= - f(x + 2(a - x_0)) + 2b\\ &= - (- f(x) + 2b) + 2b\\ &= f(x) \end{align*}即， \(f(x)\) 为周期函数，周期为 \(4(a-x_0)\).
若在 \((*)\) 处针对另外一个方程换元，即令 \(t + x_0 = x + a\) 然后代入到 (2) 中，同样的操作会得到
\[ f(x + 4(x_0 - a)) = f(x) \]
故，有
\[ f(x + 4|x_0 - a|) = f(x) \]
即 \(f(x)\) 的周期为 \(4|x_0 - a|\). □
Question 已知函数 \(f(x)\) 是 \(\R\) 上的偶函数，且 \(f(x)\) 的图像关于点 \((1,0)\) 对称，当 \(x\in[0,1]\) 时， \(f(x) = 2-2^x\) ，则 \(\sum_{i=0}^{2024}f(i)\) 的值为多少？
Solution 由题可知，\(f(x)\) 关于 \(x = 0\) 轴对称，又关于 \((1,0)\) 中心对称，根据命题可得，\(f(x)\) 为周期函数，且周期 \(T = 4|0-1| = 4\).
既知周期为 4，那么 \(\sum_{i=0}^{2024}f(i) = 506 \times (f(0) + f(1) + f(2) + f(3)) + f(2024)\), 代入计算即可（实在懒得打了）。
最后答案是 1. □