[高中数学人教版 A] 选择性必修第三册习题

Solution 要买 1 种，无其他限制条件，由分类加法原理： \(N=4+7=11\). □

Solution 从甲到丁可分为两类：

• 从甲到乙，再到丁，由分步乘法原理： \(N_1 = 2\times3 = 6\).
• 从甲到秉，再到丁，由分步乘法原理： \(N_2 = 4\times2 = 8\).

最后由分类加法原理： \(N = N_1 + N_2 = 14\) □

Solution A 接通 B 可分为三类：

• 上部接通，三选一皆可，由分类加法原理： \(N_1 = 3\)
• 中部接通，只有一种选择，故 \(N_2 = 1\)
• 下部接通，需要分步，而每步皆有两种选择，由分步乘法原理： \(N_3 = 2\times2 = 4\)

最后由分类加法原理： \(N=N_1+N_2+N_3 = 8\). □

Solution (1) 需要分别选取两个数，第一步有 4 中选法，第二步亦有 4 种，由分步乘法原理 \(N = 4\times4 = 16\). 1111 (2) 真分数需要分子大于分母。

由分类加法原理， \(N= 4 + 3 + 2 + 1 = 10\) □

Solution 所有小球颜色互不相同，从第一个口袋取球有 5 种取法，而第二个口袋取球则有 6 种取法。由分步乘法原理， \(N = 5\times6 = 30\). □

Solution (1) 这些数组成的坐标点都不会出现重复的情况，因此 \(N=6\times6\).

(2) 同上，斜率和截距的不同组合得到的直线也不会相同，因此 \(N=4\times4=16\). □

Solution 拨号盘密码不要求第一位数非零，因此前三个位都可以取 10 个。又因最后只能取 6 个数字，故 \(N=10\times10\times10\times10\times6=6000\). □

Solution (1) 对于每位同学，都有 3 种球队可以选择报名参加，因此 \(N=3\times3\times\times3\times3=3^4\).

(2) 对于每个班级，都有 5 处风景可供选择，因此 \(N=5\times5\times5=5^3\). □

Solution (1) 对于第一个同学有 5 件礼物可选，第二个同学有 4 件，因此每人一件的总方案共有 \(N=5\times4\times3\times2 = 120\).

(2) 每本书可以选择 5 个抽屉存放，而一个抽屉可以放多本，因此 \(N=5\times5\times5=125\). □

Solution (1) 只需要把球拿出来，故先拿白球和先拿红球无差别，总数 \(N_1 = 8\times 10=80\).

(2) 两个白球，因而各个球都由编号，如果直接 \(8\times7\) 会出现重复，比如说分别取到 1 号和 2 号的白球，和分别取到 2 号和 1 号的白球是等价的方案。

对于 1 号白球，第二个球有 7 种选择；对于 2 号白球，不能再取 1 号，所以只有 6 种选择。以此类推，第二个可选白球的数目随着第一个白球号数的增加而减少，因此种数应该是 \(N_2 = 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 28\).

(3) “至少有一个白球”，因此是“两个都是白球”和“恰有一个白球”的并集，因此 \(N_3 = N_1 + N_2 = 108\).

(4) 可用同 (2) 的方法计算出恰是 2 个红球的种数是 \(N'=\sum_{i=1}^9i = 45\)，因此两球颜色相同的种数为 \(N_4 = N_2 + N' = 73\). □

Solution 除了第一天有 7 人可选，之后每一天的工人都不能与前一天相同，即有 6 人可选。总数为 \(N=7\times6^6=326592\). □

Solution 首先对 2160 进行质因数分解，得 \(2160=2\times2\times2\times2\times3\times3\times3\times5\). 而它的正因数，是由这些质因数选择并相乘而得。

设其通式为 \(2^i3^j5^k\), 其中 \(i\in\{0,1,2,3,4\}, j\in\{0,1,2,3\}, k\in{0,1}\). 因此组成因数共有 \(N = |i|\times|j|\times|k| = 5\times4\times2 = 40\). □