数学学习的一些心得
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朋友跟我提到，作为一个数学爱好者，是否有一些学习经验给想学习数学的入门者。虽然各种数学入门都看过，我自己却没有总结出什么经验，便以此为契机，分享一下自己摸爬打滚的历经。
学习基础：逻辑
数学是建立在逻辑学的基础上，首先要掌握的便是数理逻辑相关知识，比如命题的“与或非”，蕴涵命题的概念等等。数学上最重要的“反证法”，就是从逻辑基础而来的。
要证明“If A. Then B”，即“\(A\Rarr B\)”, A 蕴涵 B, 反证并不是要证明 \(\lnot B \Rarr\lnot A\)（我之前一直以为如此）。
在逻辑上，\(A \Rarr B\) 与 \(\lnot A \lor B\) 是等价的，可以从二者的真值看出来。反证，就是要让整个命题的逻辑为假，即 \(\lnot(\lnot A\lor B)\), 用德摩根律打开： \(A \land \lnot B\), 也就是用前提和结论的反命题作为新的前提，向前推导。因为整个命题逻辑为假，在推导过程中就一定会出现自相矛盾的地方，如此便说明了，在前提 A 给定的情况下，结论 B 不能为假。
当然，并不需要真的把逻辑学学得多么透彻，只需要了解一些数理逻辑相关的知识，方便做数学推论即可。这部分可以看陶哲轩 Analysis I 的附录 the basis of mathametical logic.
第一原理：从定义出发
“从定义出发”，这个是听了齐神的课收获最大的一句话。在尝试解决某个数学难题之前，先通过逻辑的视角去分析问题中各个概念的内涵。
比如一个命题“单调有界数列必收敛”，要证明它，需要理清“什么是数列”、“什么叫单调”、“什么叫有界”、“什么叫收敛”。在明确概念之后，立刻可以得出定义它们的逻辑语句：
- 单调： \(\forall n,m\in\N[n < m \Rarr a_n \le a_m]\) (或者 \(a_n \ge a_m\))
- 有界： \(\forall n\in\N \exists M\in\R[|a_n| \le M]\)
- 收敛：\(\forall \epsilon > 0 \exists N \in\N ,L\in\R[n\ge N\Rarr |a_n - L| \le \epsilon]\)
如此便能把人类语言的数学命题，转换成逻辑符号数学命题。这是最重要的一步，连具体的问题是什么都不清楚，何谈解决。在概念明晰之后，很多联接会自动生成，马上就能反应到根据这个定义，下一步可以怎么推演。
解决过程：例行公事
数学的逻辑是演绎，也就是推理，因此某些相关命题在逻辑上有着大致相似的行为。简单来说，就是先看一遍某个命题的证明或解决过程，在解决相似的问题时，前者的推理过程中的很多步骤都是重复或者相关的。比如在证明与极限相关的命题，需要不厌其烦地写出极限的定义，然后用各种不等式缩放来完成；在证明线性相关的命题，需要多次反复写出各种 \(x_1,\cdots,x_n\), \(v_1,\cdots, v_n\).
所以，当遇上解决不了的数学难题时，先去看看前置的、相关的问题是如何解决的，说不定依葫芦画瓢就能把问题解决了。例行公事的目的在于培养数学习惯，在新情境下就知道可以以何种方式将各种符号连接在一起。
先验知识：收集整理
因为数学过程大多是例行公事的，如此重要的事情便是要准备足够多的“公事”，在解决问题时可以一个个检验哪个“公事”能够套上去。在某个解决不了的、即使看了前置问题依旧如此的问题，去看大佬们的解答，看看别人用了那些巧妙的思路，然后把它加到自己的“公事”候选中，在下次再遇到新问题时，就可以搬出来试一试。
最后
强烈建议去把齐神的微积分课程看一遍，搭配陶哲轩的 Analysis 教材，从基础的工作出发推演整个微积分大厦，最重要的是在过程中收获数学的演绎思维和逻辑。